مزیت تمرینهای زیاد چیست؟

تمرین‌هایی که در مدارس برای درک بهتر درس‌ها ارائه می‌شوند، گاهی موجب انگیزش و جلب توجه دانش‌آموزان می‌شوند. با این حال، در برخی از موارد به قدری تکرار مطالب افزایش می‌یابد که انگیزه و شور و شوق دانش‌آموزان فدا می‌شود؛ مطالبی که به نظر بسیار ساده و واضح بوده و نیاز به تمرین چندانی ندارند. در این حال، با آنکه تمرینات سختی چندانی ندارند و انرژی‌بر نیستند، تکرار آنها منجر به خستگی و دلزدگی می‌شود؛ همانند بسیاری از تمرین‌هایی که در پادگان‌های نظامی انجام می‌شود. آیا این تمرین‌های خسته‌کننده مزیت کافی برای جبران معایب خود دارند یا باید آنها را تعطیل کرد؟

یکی از ویژگی‌های سیستم شناختی انسان، محدودیت آن است. مغز انسان نمی‌تواند به طور همزمان به پردازش اطلاعات مختلف اقدام کند و در هر زمان باید به مطالب محدودی توجه کند. به عنوان مثال اگر شما بخواهید جواب عبارت (8×9) را حساب کنید، کار دشواری پیش رو ندارید. اما اگر بخواهید جواب عبارت (18365×35780) را حساب کنید، به احتمال زیاد نمی‌توانید؛ با آنکه روش کار یکسان است. در این حالت ذهن انسان تنها به دلیل «محدودیت فضا» نمی‌تواند روند محاسبه را طی کرده و اعداد را نگهداری کند. بخش زیادی از تمرین‌های خسته‌کننده برای حل این مشکل هستند. انسان با تمرین‌های زیاد می‌تواند بسیاری از فعالیت‌های خود را به صورت خودکار انجام داده و فضای شناختی مغز خود را برای کارهای مهمتری نگه دارد.

فعالیت‌های بسیاری هستند که به تدریج و با تمرین‌های بسیار به صورت خودکار درآمده‌اند؛ مانند بستن بند کفش، جدول ضرب، ضربه زدن به توپ برای یک فوتبالیست و حتی نوشتن یک مقاله برای یک روزنامه‌نگار. تمام این کارها برای کسانی که در آنها تسلط ندارند، فضای زیادی از مغز را اشغال می‌کند. به همین دلیل است که با تمرین‌های پی در پی باید به سمت تسلط حرکت کرد تا عملکرد مغز در انجام سایر فعالیت‌های موازی افزایش یابد. اما حتی با رسیدن به تسلط، باز هم برای «بهبود» توانایی‌ها و عملکرد در مواردی مانند نوشتن مقاله یا دریبل زدن در فوتبال، تمرین‌ها ادامه می‌یابند.

اما مزایای تمرین‌های به اصطلاح خسته‌کننده به همین جا ختم نمی‌شوند. تمرین‌های پی در پی که برای بسیاری از آنها انگیزه‌ای وجود ندارند، زمینه حرکت به سمت تمرین‌های سطوح بالاتر را فراهم کرده، مانع از فراموشی شده و امکان به کارگیری آنها در موقعیت‌های جدید و در مواجهه با مشکلات متفاوت را هم فراهم می‌کنند. به این صورت به نظر می‌رسد که گاهی باید برای رسیدن به مزایای بیشتر، رنج انجام تمرین‌های تکراری و خسته‌کننده را تحمل کرد.

منبع:

 کتاب Why Don"t Students Like School?

مترجم: مهدی نیکوئی

کاربرد انتگرال در زندگی

این بدیهی است که ریاضیات در صنعت و تکنولوژی روز کاملا کاربرد دارد. اما برای مردم عادی چطور؟

سوال این است مثلا یک راننده تاکسی دقیقا چه چیزی از ریاضیات را در زندگی استفاده میکند؟

اکثریت مردم فکر میکنند ریاضی تنها جمع ،تفریق ، ضرب و تقسیم برای خرید و فروش است.

شما چه فکر میکنید؟

نکته بسیار مهم: آن چیزی از ریاضیات که در  زندگی عموم مردم استفاده می شود «ریاضیات قومی(بومی)» نام دارد و آن چیزی که در صنعت و تکنولوژی استفاده شود «ریاضیات کاربردی» نام دارد.

تعدادی از کاربردهای انتگرال:

انتگرال‌ در ریاضیات مساحت محصور در زیر نمودار است.

 در فیزیک کاربردهای زیادی دارد مانند:

کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی 

انتگرال رابطه فشار و حجم 

اما به طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عمودی نمودار نامید.

یا با داشتن معادله شتاب در فیزیک با استفاده از انتگرال می توان معادله سرعت را بیابیم.

خیلی از اثبات ها و نتایجی که امروزه در صنعت از آن استفاده می شود،با استفاده از انتگرال بدست آمده است.

 توجه) حد ، مشتق و انتگرال مثل یه زنجیر با هم ارتباط دارند.

ادامه دارد...

برخی از معلمان در طول سال‌های کاری خود به شیوه‌ی خاصی از تدریس بدون درنظرگرفتن بازخورد‌های این شیوه، عادت می‌کنند. اکنون زمان آن رسیده ‌است که همه ما اندکی تامل کنیم و به شیوه‌های تدریس خود دقیق‌تر بیاندیشیم. براساس یافته‌های علمی، استفاده از الگوهای مختلف آموزشی در تدریس ریاضیات، به‌ دانش‌آموزان با توانایی‌ها، انگیزه‌ها و علایق مختلف از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. اطلاعات به‌دست‌آمده از دانش‌آموزان نشان‌می‌دهد، به‌طورمتوسط در تمامی کشورهای شرکت‌کننده در آزمون "پیزا[1]" استفاده از الگوی "فعال‌-شناختی[2]" دارای بیشترین تاثیر بر نمرات دانش‌آموزان است. این الگوهای آموزشی این امکان را برای دانش‌آموزان فراهم‌ می‌کند که به مشکلات عمیق‌تر بنگرند، درباره‌ی روش‌ها و اشتباهات با دیگران بحث کنند و درنتیجه‌ی بازخورد، بر روند یادگیری تاثیر بیشتری بر جا بگذارند. معلمان باید اهمیت این‌گونه آموزش را درک کنند و چگونگی استفاده از این روش را به‌منظور کسب بیشترین بازده از سوی دانش‌آموزان فراگیرند. 

الگوی فعال‌- شناختی در ریاضیات چیست؟

در اصل، الگوی فعال-شناختی درباره‌ی روش‌های یادگیری بهتر دانش‌آموزان است، راه‌هایی همچون خلاصه‌برداری، پرسش و پاسخ، و پیش‌بینی که در‌حل مسائل ریاضی به‌کمک دانش‌آموزان می‌آید. این الگو دانش‌آموزان را ترغیب ‌می‌کند که برای یافتن راه‌حل‌ها عمیق‌تر فکر‌کنند و به‌جای فکر‌کردن درباره‌ی جواب، به روش‌های رسیدن به جواب بیاندیشند. ایجاد ارتباط بین حقایق ریاضی و روش‌ها و ایده‌های جدید به افزایش یادگیری و درک عمیق‌تر مفاهیم منجر‌ خواهد شد.

خوشبختانه، درسراسر کشور‌ها، الگوی فعال-شناختی در آموزش ریاضیات غالبا مورد استفاده قرار ‌می‌گیرد. اطلاعات نشان‌ می‌دهد بیش‌ از 70 درصد معلمان در آموزش تمام یا بخشی از دروس از این روش استفاده ‌می‌کنند.

اطلاعات حاصل از آزمون پیزا آشکار‌ می‌سازد که در سراسر کشور‌های عضو OECD دانش‌آموزانی که اعلام‌داشته‌اند معلمانشان از الگوی فعال-شناختی در کلاس‌های ریاضیات استفاده‌ می‌کنند، میانگین نمرات بالاتری نسبت به سایر دانش‌آموزان کسب‌کرده‌اند. این نتایج جدا از سختی و آسانی مسائل ریاضی است. درواقع، در مسائل سخت‌تر عملکرد این دانش‌آموزان به‌مراتب بهتر است. دانش‌آموزانی که معلمانشان از الگوی فعال-شناختی استفاده ‌می‌کنند، درمسائل ساده 10درصد و در مسائل پیچیده بیش ‌از 50 درصد بهتر از سایر دانش‌آموزان عمل‌ می‌کنند.

حال با توجه به ‌این‌که مزایای استفاده از الگوی فعال-شناختی کاملا مشخص گردیده، چرا تمام معلمان از این الگوی آموزشی استفاده‌ نمی‌کنند؟ 

اطلاعات پیزا نشان‌ می‌دهد مدارس معین و دانش‌آموزانی با ویژگی‌های خاص، آمادگی استفاده از این الگوی آموزشی را دارا ‌هستند. تاکید این الگوی آموزشی بر یادگیری تفکر و استدلال است، که فرآیندی بسیار زمان‌بر است و در این‌ نوع تدریس، زمان کافی برای پرداخت به اصول ریاضی وجود ‌ندارد. بنابراین، الگوی فعال-شناختی در مدارسی قابل‌ اجرا می‌باشد که زمان زیادی را صرف پرداختن به مفاهیم پایه‌ای ریاضیات نمی‌کنند. همچنین استفاده از این الگو برای معلمانی که دانش‌آموزانی با رفتار مختل‌کننده دارند، بسیاری دشوار است.

درمجموع می‌توان گفت، استفاده از الگوی فعال-شناختی روش مناسبی برای بهبود عملکرد دانش‌آموزان در درس ریاضیات می‌باشد و هرچه مسائل چالش‌برانگیز‌تر باشد با این الگو نتایج بهتری را کسب‌ خواهیم کرد. این الگوی آموزشی برای اجرا نیازمند شرایط خاصی است که از آن جمله می‌توان به دانش‌آموزان با پایه ریاضی قوی اشاره‌کرد، زیرا این روش فرآیندی زمان‌بر دارد.

منبع:

گزارش Ten Questions for Mathematics Teachers… and How PISA Can Help Answer Them (OECD)

مترجم: امیر شاملویی

[1] PISA

[2] cognitive-activation

تاریخچه تکامل ریاضی

در مورد تاریخچه ریاضی چه می دانید؟

تاریخچه علم ریاضی

انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه هایش را می داند انجام می داد اما به زودی مجبور شد وسیله شمارش دقیق تری بوجود آورد لذا به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن 60 بود.

این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می باشد قدیمی ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن ترین مدارک موجود یعنی نوشته های سومری مشاهده می شود. سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین النهرین یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.

سه قرن اول ریاضیات یونانی که با تلاشهای اولیه در هندسه برهانی بوسیله تالس در حدود 600 سال قبل از میلاد شروع شده و با کتاب برجسته اصول اقلیدس در حدود 300 سال قبل از میلاد به اوج رسید، دوره‌ای از دستاوردهای خارق العاده را در ریاضی تشکیل می‌دهد.

در حدود 1200 سال قبل از میلاد بود که قبایل بدوی “دوریایی” با ترک دژهای کوهستانی شمال برای دستیابی به قلمروهای مساعدتر در امتداد جنوب راهی شبه جزیره یونان شدند و متعاقب آن قبیله بزرگ آنها یعنی اسپارت را بنا کردند. بخش مهمی از سکنه قبلی برای حفظ جان خود، به آسیای صغیر و زایر یونانی و جزایر یونانی دریای اژه گریختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهای تجاری یونانی را برپا کردند.

در این مهاجرنشینها بود که در قرن ششم (ق.م) اساس مکتب یونانی نهاده شد و فلسفه یونانی شکوفا شد و هندسه برهانی تولد یافت. در این ضمن ایران بدل به امپراطوری بزرگ نظامی شده بود و به پیروزی از یک برنامه توسعه طلبانه در سال 546 (ق.م) شهر یونیا و مهاجرنشینهای یونانی آسیای صغیر را تسخیر نمود.

در نتیجه عده‌ای از فیلسوفان یونانی مانند فیثاغورث موطن خود را ترک و به مهاجرنشینهای در حال رونق جنوب ایتالیا کوچ کردند. مدارس فلسفه و ریاضیات در “کروتونا” زیر نظر فیثاغورث در “الیا” زیر نظر کسنوفانس ، زنون و پارمیندس پدید آمدند.

در حدود480 سال قبل از میلاد آرامش پنجاه ساله برای آتنی ها پیش آمد که دوره درخشانی در تاریخ ریاضی برای آنان بود و ریاضیدانان زیادی به آتن جذب شدند. در سال 431 (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزی” بین آتنیهای و آسپارتها، صلح به پایان رسید و با شکست آتنیها دوباره رکورد در تاریخ ریاضیات حاصل شد.

ظهور افلاطون و نقش وی در تولید علم ریاضی

اگرچه با پایان جنگ پلوپرنزی مبادله قدرت سیاسی کم اهمیت تر شد، اما رهبری فرهنگی خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن یا حوالی آن و در سال 427 (م) که در همان سال نیز طاعون بزرگی شیوع یافت و یک چهارم جمعیت آتن را هلاک کرد و موجب شکست آنها شد، به دنیا آمد، افلاطون فلسفه را در آنجا زیر نظر سقراط خواند و سپس در پی کسب حکم عازم سیر و سفرهای طولانی شد. وی بدین ترتیب ریاضی را زیر نظر تیودوروس در ساحل آفریقا تحصیل کرد. افلاطون در بازگشت به آتن در حدود سال 387 (ق.م) آکادمی معروف خود را تاسیس کرد.

در بررسی تاریخچه ریاضی می توان گفت که تقریبا تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم بوسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آکادمی افلاطون به عنوان حلقه ارتباط ریاضیات فیثاغورثیان اولیه و ریاضیات اسکندریه در آمد. تاثیر افلاطون بر علم ریاضی، معلول هیچ یک از کشفیات ریاضی وی نبود، بلکه به خاطر این اعتقاد شورانگیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌آورد و از این رو در پرورش فیلسوفان و کسانی که می‌بایست دولت آرمانی را اداره کنند، نقش اساسی داشت. این اعتقاد، شعار معروف او را بر سر در آکادمی وی توجیه می‌کند: “کسی که هندسه نمی‌داند، داخل نشود.”

بنابراین به دلیل رکن منطقی و نحوه برخورد ذهنی نابی که تصور می‌کرد مطالعه ریاضیات در شخص ایجاد می‌کند، ریاضیات به نظر افلاطون از بیشترین اهمیت برخوردار بود، و به همین جهت بود که جای پر ارزش را در برنامه درس آکادمی اشغال می‌کرد.

اغلب دلزدگی ها و بی علاقگی ها نسبت به ریاضیات را ، باید در برخورد های نخستین افراد- در دبستان و متوسطه اول- با آن دانست. کتاب های درسی، اغلب فشرده و « خشک » تنظیم شده است، ساعت های محدود کلاس ریاضی هم ، به معلمی که نگران تمام شدن برنامه است ، امکان کار گسترده تر با دانش آموزان را نمی دهد. و این، البته در شرایطی است که هم کتاب درسی ، بطور نسبی خوب تالیف شده باشد و هم معلم ، « هنر »  معلمی را داشته باشد. در چنین شرایطی ، تلاش شخصی خود دانش آموز است که می تواند بخشی از عوامل منفی را از بین ببرد. این تلاش ، باید در جهت ها ی مختلف و در زمینه های بسیار  گوناگونی باشد که در این جا به بعضی از آن ها ، فهرست وار اشاره می کنیم.( خوشبختانه کتاب های جدید درسی نگرش بسیار مطلوبی نسبت به مسائل ریاضی پیدا کرده اند.)

1-   یکی از مفید ترین راه ها برای علاقه مند شدن به ریاضیات ، کار جمعی و دست کم دو نفری است . ریاضیات را باهم بخوانید ، برای هم شرح دهید ، از یکدیگر ایراد بگیرید و حتی با هم فکر کنید.

2-  وقتی متوجه شدید در حل مساله ای یا درک مطلبی ، دچار اشتباه شده اید ، خیلی ساده از آن نگذرید. سعی کنید دلیل اشتباه خود را پیدا کنید. آیا اشتباه منطقی کرده اید؟ آیا صورت مساله را عوضی فهمیده اید؟ در محاسبه اشتباه کرده اید یا در روش حل؟ و. . .

بسیاری از اشتباه ها ، نه به استدلال نادرست شما ، بلکه به عدم درک مفهوم اصلی مطلب مربوط می شود. مثال ساده ای  بزنیم :

اگر از کودکی دبستانی بخواهید 44  را نصف کند و او به شما پاسخ دهد که نتیجه نصف کردن 4  شده است ، نباید بلافاصله گمان کنید که فکر و استدلال او در جهت نادرستی بوده است. او تنها به علامت ها توجه کرده است و استدلال او برای نصف کردن  –  به معنایی که صورت مساله را فهمیده – درست است.

3-  بر حافظه خود کمتر تکیه کنید و بیشتر به روش کار و نحوه ی استدلال بپردازید. به معنای واژه ها وبه جمله هایی که به کار می برید توجه کنید و سعی کنید معنای ریاضی آن ها را به یاد بیاورید.اگر عادت شده است برای نمونه برای انجام عملی مثل   ، می گویند « دور در دور ، نزدیک در نزدیک » فکر کنید که این عمل یعنی چه ؟شما چه عمل ریاضی را انجام می دهید و برای این عمل ریاضی چه کاری مجاز است؟ همین طور، که با واژه ی « اتحاد » یا « معادله »  و غیر آن روبه رو می شوید، معنای ریاضی آن را به یاد بیاورید و از جمله ، اگر متوجه شدید که معنای « ضریب » را نمی دانید ، قبل از یاد گرفتن آن به فکر حل مساله مربوط به آن نیفتید.

4-  هیچ وقت مساله را به کمک به اصطلاح « حل المسایل » حل نکنید. تمام تلاش خود را به کار برید تا نیروی خودتان را در حل آن بیازمایید.اگر در مدت چند ساعت کار ، فقط دو مساله را خودتان حل کنید ، به مراتب مفید تر از آن است که در مدتی کوتاه تر ، راه حل تعداد زیادی مساله را به کمک « حل المسایل » فرا بگیرید.

5-  از مطالعه کتاب های غیر درسی ریاضی غفلت نکنید. با راهنمایی افراد واردتر ، به سراغ کتاب هایی بروید که درباره ی کاربردهای ریاضی و بحث های ساده ی مربوط به فلسفه ریاضی نوشته شده است. مطالعه ی این کتاب ها ، دیدگاه شما را گسترش می دهد، زیبایی های ریاضیات را به شما می شناساند و احساس شور و شوقی بی اندازه نسبت به یادگیری ریاضیات در شما به وجود می آورد.

کتاب ها و مقاله هایی هم که به بازی ها ، سرگرمی ها و معما های ریاضی اختصاص دارند  بسیار مفیدند و شما را با ریزه کاری های استدلال ریاضی آشنا می کنند.

6-  ریاضیات به حوصله ، تمرین ، مطالعه و اندیشه نیاز دارد ، ولی برای این که خود را به این ها عادت بدهید، تنها باید اراده کنید که مدتی – نه چندان دراز – به توصیه های این مقاله عمل کنید . بعد چنان به کار علاقه مند خواهید شد که برای جدا کردن شما از ریاضیات باید اراده داشت ، نه برای ادامه دادن آن.

نتیجه گیری :

 هر چیزی نیاز به آموزش دارد . ریاضیات درست اندیشیدن به مسایل زندگی و صبر و شکیبایی در حل مشکلات را به دانش آموزان آموزش می دهد. انشاء الله دانش آموزان از این فرصت آموزشی برای آینده  خود بهره ببرند. 

منبع: با کمی تغییر

http://mathteacherjamali.blogfa.com

بارم بندی دروس متوسطه اول (مهم)

دانلود

روش صحیح مطالعه‌ درس ریاضی

ریاضیات شامل علائم، فرمول‌ها، روش‌های ویژه و کتاب‌های درسی‌ای است که سخت به نظر می‌آیند و خیلی کلمات و اصطلاحات منحصربه‌فرد هستند. در نتیجه مهم است که از مهارت‌های مطالعه‌ای استفاده کنید  که اختصاصاً مناسب ریاضیات باشد که آسمونی این مهارت ها را در این بخش به شما دوستان عزیز آموزش می دهد.

1- شما نمی‌توانید ریاضیات را فقط با خواندن و گوش دادن یاد بگیرید. قسمت زیادی از یادگیری ریاضیات به تمرین کردن فعالانه بستگی دارد. این بدان معنی است که شما حتماً باید همه‌ی تکالیف و وظایف محوله‌ی درسی خود در ریاضیات را انجام دهید. یاد گرفتن چگونگی استفاده از فرمول‌ها و روش‌ها، حیاتی است.

2- ریاضیات یک موضوع زنجیره‌ای است. چیزی که در یک روز معین درس داده می‌شود بر اساس آموخته‌های روز قبل از آن است. همین که عقب افتادید، دوباره رسیدن به درس سخت می‌شود. آماده شدن برای امتحان، آن هم در دقایق آخر، به شما کمک نخواهد کرد. باید در همه‌ی کلاس‌ها شرکت کنید و پابه‌پای معلم‌‌تان پیش بروید.

3- ریاضیات مبحث سختی است که به طور فزاینده‌ای پیچیده می‌شود. شاید لازم باشد که زمان مطالعه‌ی بیش‌تری برای ریاضیات نسبت به دیگر مباحث اختصاص دهید.

ادامه مطلب...

عوامل تأثیرگذار در مطالعه

یکی از مهم‌ترین مقوله‌هایی که در آموزش ریاضی مد نظر است، ایجاد «تفکر ریاضی» در ذهن دانش‌آموز است. اگر ذهن فرد ساختاری منطقی و ریاضی پیدا کند، وی می‌تواند مفاهیم مختلف ریاضی، حتی مفاهیم پیچیده‌ی این علم را به‌راحتی فرابگیرد. علاوه بر این، توانایی «مستقیم فکر کردن» و به عبارت دیگر «میان‌بُر فکر کردن» نیز یکی از دستاوردهای داشتن ذهن منطقی و ریاضی است.

میان‌بُر فکر کردن یعنی این‌که شما به بهترین وجه از اطلاعاتی پیشین خود در حل مسئله یا مسائل استفاده کیند و وقت خود را صرف بازگویی یا بهتر بگویم پُرگویی درباره‌ی آن‌چه قبلاً می‌دانستید نکنید، بلکه همه‌ی دانسته‌های خود را به عنوان داده‌های موجود، در حل مسئله به کار گیرید. با مثالی این مطلب را روشن می‌کنم.
اگر مثلاً در سال‌های گذشته مبحث «تشابه در مثلث» را خوانده باشید، می‌دانید هنگامی که دو زاویه‌ی مثلثی با دو زاویه‌ از مثلث دیگر برابر باشند، آن دو مثلث متشابه‌اند. حال اگر برای مثال به مسئله‌ای برخوردید که حل آن مستلزم دانستن قضایای تشابه است، آیا باز هم نیازی به اثبات قضیه‌ی تشابه دو مثلث و سپس کاربرد آن در حال مسئله احساس می‌کنید و آیا اصولاً این کار لازم است؟ مسماً خیر؛ بنابراین هر چه دانسته‌های ریاضی شما در درس ریاضی بیش‌تر شود «راه‌های میان‌بُر» شما برای حل مسائل مختلف بیش‌تر می‌شود.
ادامه مطلب...